求解一个极限（2026.4.6）

题目：

$$\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{\pi}{4} - \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^2 + i^2} \right)$$

这是一个非常经典的定积分与黎曼和（Riemann sum）误差分析的极限问题。我们可以通过构造函数、将求和转化为积分并利用泰勒公式（Taylor's formula）展开来求解。

以下是详细的推导过程：

1. 构造函数与定积分

首先，观察求和式，将其提取公因子 $\frac{1}{n}$，构造成黎曼和的形式：

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^2 + i^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1 + (\frac{i}{n})^2}$$

令 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，则上述和式即为函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上的右端点黎曼和。
我们知道该函数在 $[0, 1]$ 上的定积分刚好等于 $\frac{\pi}{4}$：

$$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) \Big|_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4}$$

因此，原极限可以改写为：

$$L = \lim_{n \to \infty} n \left( \int_0^1 f(x) dx - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \right)$$

2. 利用泰勒公式分析区间误差

为了精确分析积分与黎曼和之间的差值，我们引入积分上限函数 $F(x) = \int_0^x f(t) dt$。
显然有 $F'(x) = f(x)$，且 $\int_0^1 f(x) dx = F(1) - F(0)$。

我们可以将总误差拆分到每一个小区间 $[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}]$ 上：

$$\int_0^1 f(x) dx - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) = \sum_{i=1}^{n} \left[ \left( F\left(\frac{i}{n}\right) - F\left(\frac{i-1}{n}\right) \right) - \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \right]$$

对 $F\left(\frac{i-1}{n}\right)$ 在 $x = \frac{i}{n}$ 处进行带有拉格朗日余项的泰勒展开，步长为 $-\frac{1}{n}$：

$$F\left(\frac{i-1}{n}\right) = F\left(\frac{i}{n}\right) + F'\left(\frac{i}{n}\right)\left(-\frac{1}{n}\right) + \frac{F''\left(\frac{i}{n}\right)}{2!}\left(-\frac{1}{n}\right)^2 + \frac{F'''(\theta_i)}{3!}\left(-\frac{1}{n}\right)^3$$

其中 $\theta_i \in (\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n})$。

由于 $F'(x) = f(x)$，$F''(x) = f'(x)$，$F'''(x) = f''(x)$，代入上式得：

$$F\left(\frac{i-1}{n}\right) = F\left(\frac{i}{n}\right) - \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right) + \frac{1}{2n^2} f'\left(\frac{i}{n}\right) - \frac{1}{6n^3} f''(\theta_i)$$

移项整理，得到每个小区间上的误差：

$$F\left(\frac{i}{n}\right) - F\left(\frac{i-1}{n}\right) - \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right) = -\frac{1}{2n^2} f'\left(\frac{i}{n}\right) + \frac{1}{6n^3} f''(\theta_i)$$

3. 求和并计算极限

将上述等式从 $i=1$ 到 $n$ 求和，得到总误差：

$$\int_0^1 f(x) dx - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) = -\frac{1}{2n^2} \sum_{i=1}^{n} f'\left(\frac{i}{n}\right) + \frac{1}{6n^3} \sum_{i=1}^{n} f''(\theta_i)$$

将此结果代入原极限表达式 $L$ 并乘以 $n$：

$$L = \lim_{n \to \infty} \left[ -\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} f'\left(\frac{i}{n}\right) + \frac{1}{6n^2} \sum_{i=1}^{n} f''(\theta_i) \right]$$

我们可以将上式分为两部分来求极限：

第一部分：主部极限

$$\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f'\left(\frac{i}{n}\right) \right)$$

括号内正是函数 $f'(x)$ 在 $[0, 1]$ 上的黎曼和，当 $n \to \infty$ 时，它趋于定积分 $\int_0^1 f'(x) dx$。
由牛顿-莱布尼茨公式，$\int_0^1 f'(x) dx = f(1) - f(0)$。

第二部分：余项极限

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{6n^2} \sum_{i=1}^{n} f''(\theta_i)$$

因为 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ 是初等函数，其二阶导数 $f''(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 上必定连续且有界。设 $|f''(x)| \le M$，则有：

$$\left| \frac{1}{6n^2} \sum_{i=1}^{n} f''(\theta_i) \right| \le \frac{1}{6n^2} \sum_{i=1}^{n} M = \frac{n \cdot M}{6n^2} = \frac{M}{6n}$$

当 $n \to \infty$ 时，$\frac{M}{6n} \to 0$，由夹逼定理可知余项的极限为 $0$。

4. 最终结果

综合上述分析，原极限 $L$ 为：

$$L = -\frac{1}{2} \Big( f(1) - f(0) \Big)$$

已知 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，计算端点值：

• $f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2}$
• $f(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1$

代入计算得到最终结果：

$$L = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = -\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4}$$

最终答案：

$$\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{\pi}{4} - \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^2 + i^2} \right) = \frac{1}{4}$$