莱布尼茨公式的证明（2026.3.26）

注：由AI生成

要严格证明含参变量积分的求导公式（莱布尼茨公式）：

$$\Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y) dy = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f_x(x,y) dy + f\big(x, \beta(x)\big) \beta'(x) - f\big(x, \alpha(x)\big) \alpha'(x),$$

我们采用构造辅助函数+微分中值定理+极限定义的方法，步骤如下：

步骤1：构造辅助函数与增量分析

设 $\Phi(x) = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y) dy$，考虑自变量增量 $\Delta x$，对应的函数增量为：

$$\Delta \Phi = \Phi(x+\Delta x) - \Phi(x) = \int_{\alpha(x+\Delta x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x,y) dy - \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y) dy.$$

将积分拆分为三部分（利用积分的可加性）：

$$\Delta \Phi = \underbrace{\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \big[ f(x+\Delta x,y) - f(x,y) \big] dy}_{\text{被积函数的增量}} + \underbrace{\int_{\beta(x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x,y) dy}_{\text{上积分限的增量}} - \underbrace{\int_{\alpha(x)}^{\alpha(x+\Delta x)} f(x+\Delta x,y) dy}_{\text{下积分限的增量}}.$$

步骤2：分别处理三部分增量

（1）第一部分：被积函数的增量

由拉格朗日中值定理（对 $x$ 求偏导），对每个固定的 $y$，存在 $\xi \in (x, x+\Delta x)$，使得：

$$f(x+\Delta x,y) - f(x,y) = f_x(\xi, y) \cdot \Delta x.$$

因此，第一部分可写为：

$$\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \big[ f(x+\Delta x,y) - f(x,y) \big] dy = \Delta x \cdot \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f_x(\xi, y) dy.$$

当 $\Delta x \to 0$ 时，$\xi \to x$。若 $f_x(x,y)$ 在积分区域上连续（或一致连续），则积分号与极限号可交换，即：

$$\lim_{\Delta x \to 0} \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f_x(\xi, y) dy = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f_x(x, y) dy.$$

因此，第一部分对 $\Delta x$ 的“导数贡献”为：

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \big[ f(x+\Delta x,y) - f(x,y) \big] dy = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f_x(x, y) dy.$$

（2）第二部分：上积分限的增量

由积分中值定理（对 $y$ 积分），存在 $\eta \in \big[ \beta(x), \beta(x+\Delta x) \big]$（或反之，取决于 $\Delta x$ 正负），使得：

$$\int_{\beta(x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x,y) dy = f\big(x+\Delta x, \eta\big) \cdot \big[ \beta(x+\Delta x) - \beta(x) \big].$$

两边除以 $\Delta x$，得：

$$\frac{1}{\Delta x} \int_{\beta(x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x,y) dy = f\big(x+\Delta x, \eta\big) \cdot \frac{\beta(x+\Delta x) - \beta(x)}{\Delta x}.$$

当 $\Delta x \to 0$ 时：

• $\eta \to \beta(x)$（因为 $\beta(x)$ 连续）；
• $\frac{\beta(x+\Delta x) - \beta(x)}{\Delta x} \to \beta'(x)$（由 $\beta(x)$ 可导）；
• $f\big(x+\Delta x, \eta\big) \to f\big(x, \beta(x)\big)$（由 $f(x,y)$ 连续）。

因此，第二部分对 $\Delta x$ 的“导数贡献”为：

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \int_{\beta(x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x,y) dy = f\big(x, \beta(x)\big) \cdot \beta'(x).$$

（3）第三部分：下积分限的增量

类似地，由积分中值定理，存在 $\zeta \in \big[ \alpha(x), \alpha(x+\Delta x) \big]$，使得：

$$\int_{\alpha(x)}^{\alpha(x+\Delta x)} f(x+\Delta x,y) dy = f\big(x+\Delta x, \zeta\big) \cdot \big[ \alpha(x+\Delta x) - \alpha(x) \big].$$

两边除以 $\Delta x$，得：

$$\frac{1}{\Delta x} \int_{\alpha(x)}^{\alpha(x+\Delta x)} f(x+\Delta x,y) dy = f\big(x+\Delta x, \zeta\big) \cdot \frac{\alpha(x+\Delta x) - \alpha(x)}{\Delta x}.$$

当 $\Delta x \to 0$ 时：

• $\zeta \to \alpha(x)$；
• $\frac{\alpha(x+\Delta x) - \alpha(x)}{\Delta x} \to \alpha'(x)$；
• $f\big(x+\Delta x, \zeta\big) \to f\big(x, \alpha(x)\big)$。

因此，第三部分对 $\Delta x$ 的“导数贡献”为：

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \int_{\alpha(x)}^{\alpha(x+\Delta x)} f(x+\Delta x,y) dy = f\big(x, \alpha(x)\big) \cdot \alpha'(x).$$

步骤3：合并三部分，得到导数

将三部分的极限贡献相加，得：

$$\Phi'(x) = \underbrace{\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f_x(x, y) dy}_{\text{被积函数的导数}} + \underbrace{f\big(x, \beta(x)\big) \beta'(x)}_{\text{上积分限的导数}} - \underbrace{f\big(x, \alpha(x)\big) \alpha'(x)}_{\text{下积分限的导数}}.$$

严格性说明

上述证明的严格性依赖于以下条件：

1. $f(x,y)$ 在积分区域（由 $x$ 和 $y$ 构成的矩形或区域）上连续，且对 $x$ 的偏导数 $f_x(x,y)$ 连续（保证积分号与极限号可交换）；
2. $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 在 $x$ 的邻域内可导（保证积分限的增量可导）。

若这些条件满足，则莱布尼茨公式成立：

$$\boldsymbol{\Phi'(x) = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f_x(x,y) dy + f\big(x, \beta(x)\big) \beta'(x) - f\big(x, \alpha(x)\big) \alpha'(x)}.$$