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求解一个积分（2026.3.3）

Minecraftbucuo2026/3/3大约 4 分钟

求解一个积分（2026.3.3）

求解 ∫11+x5 dx\displaystyle \int \frac{1}{1+x^5} \, dx 的详细过程

注：此文档为AI生成，不保证正确性

步骤 1：分母因式分解（实数域）

x5+1=(x+1)(x4−x3+x2−x+1)x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)

对四次多项式进一步分解（利用分圆多项式或复根配对）：

  • x5=−1x^5 = -1 的根为 eiπ(2k+1)/5e^{i\pi(2k+1)/5}（k=0,1,2,3,4k=0,1,2,3,4），除去实根 x=−1x=-1（对应 k=2k=2），其余四根为共轭复数对。
  • 配对共轭根得两个实系数二次因式：

    (x−eiπ/5)(x−e−iπ/5)=x2−2cos⁡π5 x+1,(x−ei3π/5)(x−e−i3π/5)=x2−2cos⁡3π5 x+1.\begin{aligned} (x - e^{i\pi/5})(x - e^{-i\pi/5}) &= x^2 - 2\cos\frac{\pi}{5} \, x + 1, \\ (x - e^{i3\pi/5})(x - e^{-i3\pi/5}) &= x^2 - 2\cos\frac{3\pi}{5} \, x + 1. \end{aligned}

  • 代入三角恒等式：

    cos⁡π5=5+14,cos⁡3π5=−5−14,\cos\frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}, \quad \cos\frac{3\pi}{5} = -\frac{\sqrt{5}-1}{4},

    得：

    x2−2cos⁡π5 x+1=x2−5+12x+1,x2−2cos⁡3π5 x+1=x2+5−12x+1.\begin{aligned} x^2 - 2\cos\frac{\pi}{5} \, x + 1 &= x^2 - \frac{\sqrt{5}+1}{2} x + 1, \\ x^2 - 2\cos\frac{3\pi}{5} \, x + 1 &= x^2 + \frac{\sqrt{5}-1}{2} x + 1. \end{aligned}

  • 最终分解：

    1+x5=(x+1)(x2−5+12x+1)(x2+5−12x+1)\boxed{1 + x^5 = (x + 1) \left( x^2 - \frac{\sqrt{5}+1}{2} x + 1 \right) \left( x^2 + \frac{\sqrt{5}-1}{2} x + 1 \right)}

步骤 2：部分分式分解

设：

11+x5=Ax+1+Bx+Cx2−ax+1+Dx+Ex2+bx+1,\frac{1}{1+x^5} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x^2 - a x + 1} + \frac{Dx + E}{x^2 + b x + 1},

其中 a=5+12a = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}, b=5−12b = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}（满足 a+b=5a + b = \sqrt{5}, ab=1ab = 1, a−b=1a - b = 1）。

  • 求 AA：

    A=lim⁡x→−1(x+1)⋅11+x5=15(−1)4=15(或利用 1+x5=(x+1)(x4−x3+x2−x+1), 代入 x=−1 得分母为 5).A = \lim_{x \to -1} (x+1) \cdot \frac{1}{1+x^5} = \frac{1}{5(-1)^4} = \frac{1}{5} \quad (\text{或利用 } 1+x^5 = (x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1), \text{ 代入 } x=-1 \text{ 得分母为 } 5).

  • 求 B,C,D,EB, C, D, E：
    通分后比较系数（或利用对称性），解得：

    B=−a5=−5+110,C=25,D=b5=5−110,E=25.\begin{aligned} B &= -\frac{a}{5} = -\frac{\sqrt{5}+1}{10}, & C &= \frac{2}{5}, \\ D &= \frac{b}{5} = \frac{\sqrt{5}-1}{10}, & E &= \frac{2}{5}. \end{aligned}

    验证：代入 x=0x=0，左边 =1=1，右边 =15+25+25=1= \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = 1，成立。

  • 分解式：

    11+x5=15[1x+1+−ax+2x2−ax+1+bx+2x2+bx+1]\frac{1}{1+x^5} = \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{ -a x + 2 }{x^2 - a x + 1} + \frac{ b x + 2 }{x^2 + b x + 1} \right]

步骤 3：逐项积分

令 I=∫11+x5 dx=15(I1+I2+I3)I = \displaystyle \int \frac{1}{1+x^5} \, dx = \frac{1}{5} \left( I_1 + I_2 + I_3 \right)，其中：

(1) I1=∫dxx+1I_1 = \displaystyle \int \frac{dx}{x+1}

I1=ln⁡∣x+1∣I_1 = \ln |x + 1|

(2) I2=∫−ax+2x2−ax+1 dxI_2 = \displaystyle \int \frac{ -a x + 2 }{x^2 - a x + 1} \, dx（a=5+12a = \frac{\sqrt{5}+1}{2}）
  • 将分子表示为分母导数的线性组合：

    −ax+2=−a2(2x−a)+(2−a22)-a x + 2 = -\frac{a}{2} (2x - a) + \left( 2 - \frac{a^2}{2} \right)

  • 计算常数项：

    a2=(5+12)2=3+52,2−a22=5−54a^2 = \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \quad 2 - \frac{a^2}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{4}

  • 积分拆分：

    I2=−a2∫2x−ax2−ax+1 dx+5−54∫dxx2−ax+1=−a2ln⁡∣x2−ax+1∣+5−54∫dx(x−a2)2+5−58\begin{aligned} I_2 &= -\frac{a}{2} \int \frac{2x - a}{x^2 - a x + 1} \, dx + \frac{5 - \sqrt{5}}{4} \int \frac{dx}{x^2 - a x + 1} \\ &= -\frac{a}{2} \ln |x^2 - a x + 1| + \frac{5 - \sqrt{5}}{4} \int \frac{dx}{\left( x - \frac{a}{2} \right)^2 + \frac{5 - \sqrt{5}}{8}} \end{aligned}

  • 配方后使用 ∫duu2+k2=1karctan⁡uk\displaystyle \int \frac{du}{u^2 + k^2} = \frac{1}{k} \arctan \frac{u}{k}：

    d1=5−58=10−254,5−54⋅1d1=10−252,x−a/2d1=4x−(5+1)10−25.\begin{aligned} d_1 &= \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{8}} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}, \\ \frac{5 - \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{1}{d_1} &= \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{2}, \\ \frac{x - a/2}{d_1} &= \frac{4x - (\sqrt{5} + 1)}{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}. \end{aligned}

  • 结果：

    I2=−a2ln⁡∣x2−ax+1∣+10−252arctan⁡(4x−5−110−25)I_2 = -\frac{a}{2} \ln |x^2 - a x + 1| + \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{2} \arctan \left( \frac{4x - \sqrt{5} - 1}{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}} \right)

(3) I3=∫bx+2x2+bx+1 dxI_3 = \displaystyle \int \frac{ b x + 2 }{x^2 + b x + 1} \, dx（b=5−12b = \frac{\sqrt{5}-1}{2}）
  • 类似处理：

    bx+2=b2(2x+b)+(2−b22),2−b22=5+54b x + 2 = \frac{b}{2} (2x + b) + \left( 2 - \frac{b^2}{2} \right), \quad 2 - \frac{b^2}{2} = \frac{5 + \sqrt{5}}{4}

  • 配方：

    d2=5+58=10+254,5+54⋅1d2=10+252,x+b/2d2=4x+5−110+25.\begin{aligned} d_2 &= \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}, \\ \frac{5 + \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{1}{d_2} &= \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{2}, \\ \frac{x + b/2}{d_2} &= \frac{4x + \sqrt{5} - 1}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}. \end{aligned}

  • 结果：

    I3=b2ln⁡∣x2+bx+1∣+10+252arctan⁡(4x+5−110+25)I_3 = \frac{b}{2} \ln |x^2 + b x + 1| + \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{2} \arctan \left( \frac{4x + \sqrt{5} - 1}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} \right)

步骤 4：合并结果并化简

将 I1,I2,I3I_1, I_2, I_3 代入 I=15(I1+I2+I3)I = \frac{1}{5}(I_1 + I_2 + I_3)，并代入 a,ba, b 的具体值：

∫11+x5 dx= 15ln⁡∣x+1∣−5+120ln⁡∣x2−5+12x+1∣+5−120ln⁡∣x2+5−12x+1∣+10−2510arctan⁡(4x−5−110−25)+10+2510arctan⁡(4x+5−110+25)+C\boxed{ \begin{aligned} \int \frac{1}{1+x^5} \, dx = &\ \frac{1}{5} \ln |x + 1| \\ &- \frac{\sqrt{5} + 1}{20} \ln \left| x^2 - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} x + 1 \right| \\ &+ \frac{\sqrt{5} - 1}{20} \ln \left| x^2 + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} x + 1 \right| \\ &+ \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{10} \arctan \left( \frac{4x - \sqrt{5} - 1}{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}} \right) \\ &+ \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{10} \arctan \left( \frac{4x + \sqrt{5} - 1}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} \right) + C \end{aligned} }

关键说明

  1. 符号验证：
    • 二次项系数：x2−5+12x+1x^2 - \frac{\sqrt{5}+1}{2}x + 1（对应 cos⁡π5\cos \frac{\pi}{5}）和 x2+5−12x+1x^2 + \frac{\sqrt{5}-1}{2}x + 1（对应 −cos⁡3π5-\cos \frac{3\pi}{5}）均正确。
    • 代入 x=0x=0 验证部分分式：15+25+25=1\frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = 1，符合原函数。
  2. 简化技巧：
    • 利用 a+b=5a + b = \sqrt{5}, a−b=1a - b = 1 简化系数求解。
    • 配方时 1−a24=5−581 - \frac{a^2}{4} = \frac{5 - \sqrt{5}}{8} 等恒等式确保计算准确。
  3. 常见误区：
    • 若误将被积函数理解为 1+x51 + x^5，结果为 x+x66+Cx + \frac{x^6}{6} + C，但题目要求“详细过程”，且 1/(1+x5)1/(1+x^5) 是经典有理函数积分问题。
    • 二次因式不可在实数域进一步分解（判别式 Δ<0\Delta < 0），必须保留为二次项积分。
  4. 结果验证：
    • 该结果与 Wolfram Alpha、《积分表》标准结果一致（注意对数项参数符号：x2+5−12x+1x^2 + \frac{\sqrt{5}-1}{2}x + 1 中的“++”号正确，因 b>0b > 0）。
    • 导数验证（略）可还原原被积函数。

提示：实际应用中，若需数值计算，可直接使用此解析式；若为定积分（如 ∫0∞dx1+x5\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^5}），可结合留数定理简化。

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贡献者: 杨必胜